但丁会很自在地研究创造有用电路所需的数学。他可能会遇到一些争论，关于他所观察的是地狱还是天堂，但对于一个人在接近最深的深处或最高的高度时所看到的层次，是没有分歧的。
在第一层，你会发现一个简单的1和0的世界。乔治·布尔统治着这片土地，他统治着这片土地上不成比例的狭长地带。移动一个关卡将我们带入保守律无源电路的简单世界。电压和电流源，电阻。这里可以找到简单的线性方程，尽管有时许多方程同时存在。基尔霍夫拥有这个球体。
再进一步，加上一些主动元素，你就得到了一个明显的非线性方程。各种各样的人管理着这个领域，例如联合州长Ebers和Moll。接下来，我们进入另一个看似无害的无源世界，但这里潜伏着电容器和电感器，抛弃了简单电路的简单观点。现在我们必须能够从时间域转换到频域，考虑滞后、领先和相移。微积分进入了我们的计算，为了不让事情变得太简单，它们以杂乱的积分的形式攻击我们。在这里，我们向作为摄政王的拉普拉斯表示敬意。
然而，尽管这个领域看起来很复杂，但与我们的最后一站——田野的世界——相比，它显得苍白无力。不仅仅是微积分，而是向量微积分。关于divs和卷发的奇怪概念。偏微分方程。被全能的麦克斯韦尔铁腕统治。
当你接近令人生畏的领域时，居住在每个领域的工程师人数会减少，这并非偶然。大多数都是数字化的。很少有人做田野。研究领域是人们关注的焦点，而博士和教授则是解决这一问题所需的复杂数学问题的首选。
问题是，这个东西很难解析。主要是不可能的。所以你需要用数字来计算。同样重要的是，你必须在本世纪的某个时候完成解决方案。最好是在我去喝咖啡的时候。为了在足够短的时间内获得足够好的解决方案，人们设计了许多方法。这到底意味着什么取决于问题的解决和随着时间的推移而变化。敢于处理这类问题的软件被称为现场解决程序。你有很多选择的技术和精度水平，总结在一个简短论文by PhysWare*。
集成电路领域
在集成电路世界中，似乎有两个地方使用场求解器:噪声分析和寄生提取。在某种程度上，这似乎是同一件事，因为它们都提供了一个可以用于模拟的寄生元素的分布式网络。这里需要现场求解器，因为设备和电线的物理排列，在不同的层上，由各种介质隔开，决定了这些元素如何相互影响。
金属线本身不能承受电场;它是电场所在的电介质。基于介电介质的物理特性和结构的几何形状，理解该场，就可以建立由电容器、电感器、电阻和导体组成的模型。有了这样的模型，就可以进行模拟，计算由电路的实际布局引起的具体物理相互作用。
问题是，场存在于三维空间中。(好吧，也许还有一个更深层的层面，那里的场存在于，比如卡拉比-丘流形上的6维空间或其他类似的奇怪事物上，但我们在这一生中真的没有那么邪恶，以至于应该受到那种肯定是地狱的级别。)完全求解可以同时得到所有变量的解。这是一个巨大的联立方程问题——意味着大量的矩阵被操纵。这需要时间。时间太多，说的太多。
如果事情足够简单，比如所有介电层都具有相同的介电常数，那么矩阵最终会相对稀疏——大多数条目为零——而你和我学习过但很快就忘记了解决双端口等问题的技术可以被推断为工业强度，从而带来及时的解决方案。但是，如果没有这样一个简单的世界，密集的矩阵会导致计算变慢。这意味着要么必须进行某种简化，要么必须将要解决的电路范围减小到可处理的水平——比完整的芯片还要小。
这就是你最终要用到的各种折衷技巧。在完整求解器中，似乎有三个不同的“轴”:维度的数量，离散化方法，以及完整波行为被解释的程度。二维显然比三维容易解。根据要解决的问题，这两个维度可以是垂直横截面或水平单元。三维组件有时不需要完全使用3D求解器就可以计算出来;设计了更简单的三维建模方法，从而产生了所谓的2.5D求解器。
至于如何建模这些形状，请准备好遇到一些听起来很神秘的名字，比如有限差分、有限元素和边界元素(或者矩的方法，我认为，如果解决得不够快，就会变成小时的方法)。我完全不准备暴露无知的程度，只要稍微尝试探究这些话题的深度，就会立即显现出来。这就是为什么大学、研究生和教授被发明出来的原因。我相信这些证明都是微不足道的，留给读者，所以我把它们留给你们。
至于你是否可以在求解全波行为时作弊，显然有一些“准静态”求解器在低频情况下是有用的(假设你更接近静态)，但大多数新的求解器似乎都声称具有全波能力。
还有另一种解决这个问题的方法:随机方法，即所谓的“随机漫步”技术。完全不同。为了说明两个最先进的求解器，我们将重点介绍来自e-System的2.5D求解器，用于分析噪声敏感性，以及来自Silicon Frontline的随机游走求解器，用于寄生提取。
使用两种不同的方法进入该领域
e-System的Madhavan Swaminathan，也是一位教授——惊喜!-在佐治亚理工学院，介绍了他们在Sphinx求解器/模拟器中使用的过程。因为它不是一个完整的3D求解器，他们要经过许多步骤才能得到最终的一组矩阵。他们从2D场视图开始，其中2D是水平的。他们假设任何两个导体之间只有一种电介质类型;除了少数非常罕见的极端情况外，所有情况都是如此。由此建立了一组矩阵，将产生电容器和电感的网络。
然后必须调整该模型，以考虑通过增加电阻和导体造成的损失。作为这一切的一部分，从场世界(Maxwell)到电路世界(Kirchhoff)进行了转换;接下来的步骤发生在电路公式中。
然后创建矩阵来解释层之间的耦合——这是一种垂直的0.5D方法。耦合可以是通孔或电容的结果。
最后，对电网进行了分析。这样做是为了解释返回路径不连续等情况。e-System有一种将电网矩阵与信号线矩阵结合起来的专有方法，以得到一组最终的honkin '(但稀疏)矩阵，然后将它们一起求解。和…哈!你有一个模型，然后可以用于他们所谓的信号/功率联合仿真。他们发现他们可以在大约一小时内解决一个复杂的电路，这在这个世界上是相当快的。
e-System的方法与Silicon Frontline (SFT)用于寄生提取的方法形成了鲜明对比。正如SFT首席执行官尤里·范伯格所描述的那样，他们使用的是随机游走方法。随机游走的动机之一是，与全场求解器相比，你可以更快地解决较小的问题，而全场求解器需要你求解整个电路，即使你只需要该信息的一小部分。
此外，完整求解器的“离散化”过程包括创建一个几何网格，该几何网格近似于被分析的面积(2D)或体积(3D)。一个更紧密的网格可以给出更准确的结果，但代价是变量更多——整个公式必须同时驻留在内存中。随机行走过程本身并不创建网格，精度严格由行走的次数决定。由于行走都是相互独立的，在任何给定的时间，只有一个必须驻留在内存中，从而减少了分析大型电路的内存占用。
行走的基本思想是创建从一个随机导体到另一个随机导体的随机路径(记住场只存在于电介质中，并在任何导体处结束)。解出这条路径。这样反复做很多次，最终你开始用这些小路径填满整个体积，“结合”各个计算的结果，最终得到整个体积的解。你做的这些小路径越多，填充就越紧密，解也就越精确。请注意，这个问题非常适合并行化，可以为解决方案带来额外的计算能力。
更具体地说，该过程如下所示。随机选取一个导体，然后在导体表面的某一点。从这一点开始，创建一个立方体-立方体的“半径”将是某个最大立方体半径(可以调整)或到最近导体的距离，以较小的为准。换句话说，你不希望立方体比导体移动得更远。然后在立方体表面随机选择一个点。这可以把你带到任何方向，这就是为什么你会得到一个完整的3D视图。
如果你认为随机性就像简单的掷骰子，让我给你一个更具体的SFT是如何做到这一点的，这样你就会理解为什么我只是简化了一些事情:“跳跃的最后一点是随机选择的(使用蒙特卡罗程序)，根据该立方体的拉普拉斯方程的格林函数所设置的概率分布函数。努夫说。
如果新点在下一个导体上，则路径是完整的。如果没有，则从该点创建另一个立方体，并随机移动到新立方体表面上的一个点。一直重复这些立方体，直到你找到一个导体。此时，路径末端导体处的电势可以与路径起点处的电场统计相关。
如果最大立方体半径较大，路径可以快速通过电介质的厚部分，当你接近导体时，路径会随着更小的立方体而减慢。这种效果类似于在分析波形时根据信号切换的快慢来调整时间步长。
因为每次移动到一个新立方体上的一点都是随机的，这些路径不会是直线的，当它们从一个导体蜿蜒到另一个导体时，可能会朝着各种方向移动。但是，在做了数百万次之后，你几乎可以到达电路的所有地方。或者离任何地方都很近。
至于这些技巧中哪一种更好，嗯，我想这取决于你和谁交谈。斯瓦米纳坦教授同意，随机游走可以有效地解决非常具体的问题，特别是静态问题，但是，对于更复杂的时变问题，必须使用标准矩阵方法。SFT的首席科学家Maxim Ershov承认，过去的随机行走技术只允许计算总电容，但SFT在随机行走技术方面取得了重大进展，可以提取分布式RC(或RLC)模型，为大型电路提供高频的准确表示，包括对DFM和制造效应(如浮动金属填充、CMP、litho效应和非标准金属形状)的可靠计算。
当然，通常情况下，易用性以及在某种程度上的销售和营销，在涉及到这种用户或多或少无法访问的底层工作原理的技术时，可以胜过细节。因此，这又是一个市场必须投票决定的问题。这一投票将基于哪种工具能够让用户尽可能地远离地狱。
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